Das Black-Scholes-Modell bzw. die Black-Scholes-Formel (auch bekannt als Black-Scholes-Merton-Modell) ist ein Verfahren, um den fairen Wert einer Option berechnen zu können. Obwohl es in den letzten Jahren vielerorts von anderen, fortgeschritteneren Modellen abgelöst wurde, bleibt es ein wichtiger Bestandteil der Finanzmathematik und wird oft als Basis für die Berechnung von Optionspreisen verwendet. Es wurde 1973 von Fischer Black, Myron Scholes und Robert Merton entwickelt und gehört zu den Standardmodellen in der Optionsbewertung. Als Optionshändler ist es zwar keineswegs notwendig, das genaue mathematische Verfahren zu verstehen, dennoch ist es nützlich, sich mit den Grundlagen des Black-Scholes Modells vertraut zu machen.

Was ist das Black-Scholes-Modell?

Das Black-Scholes-Modell ist ein mathematisches Modell, das zur Berechnung von Optionspreisen verwendet wird. Es wurde 1973 von Fischer Black, Myron Scholes und Robert Merton entwickelt und gehört zu den Standardmodellen in der Optionsbewertung. Das Modell basiert auf der Annahme, dass der Preis eines Vermögenswertes sich langsam und zufällig ändert und dass die Renditen von Vermögenswerten normalverteilt sind. Das Black-Scholes-Modell wird häufig in der Finanzwelt verwendet, um den “Fair Value” von Optionen zu berechnen.

Die Grundannahmen des Black-Scholes-Modells

Das Black-Scholes-Modell geht von folgenden Grundannahmen aus:

• Während der Laufzeit der Option werden keine Dividenden ausgeschüttet.
• Die Märkte bewegen sich zufällig (d.h. Marktbewegungen können nicht vorhergesagt werden).
• Es fallen keine Transaktionskosten beim Handel der Option an.
• Der risikofreie Zinssatz und die Volatilität des Basiswerts sind bekannt und konstant.
• Die Renditen des Basiswerts sind normalverteilt.
• Die Option ist europäisch und kann nur bei Fälligkeit ausgeübt werden.

Während das ursprüngliche Black-Scholes-Modell die Auswirkungen von Dividenden, die während der Laufzeit der Option gezahlt werden, nicht berücksichtigte, wird das Modell häufig angepasst, um Dividenden zu berücksichtigen, indem der Ex-Dividendenwert der zugrunde liegenden Aktie bestimmt wird.

Das Modell wird auch von vielen Market Makern, die Optionen verkaufen, modifiziert, um die Auswirkungen von Optionen zu berücksichtigen, die vor dem Verfallstag ausgeübt werden können.

Eine der wichtigsten Annahmen des Black-Scholes-Modells ist, dass die Märkte effizient sind und dass der Preis eines Vermögenswerts sich langsam und zufällig ändert. 

Eine weitere wichtige Annahme des Modells ist, dass die Renditen von Anlagen normalverteilt sind. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die Renditen eines Vermögenswerts in einem bestimmten Bereich liegen, durch die Normalverteilung berechnet werden kann.

Geschichte des Black-Scholes-Modells

Das von Fischer Black und Myron Schole entwickelte Black-Scholes-Modell wurde 1973 in der renommierten Fachzeitschrift „Journal of Political Economy“ in einem Aufsatz mit dem Titel „The Pricing of Options and Corporate Liabilities“ veröffentlicht. 

Robert C. Merton war ebenfalls an der Herausgabe dieses Artikels beteiligt. Später im selben Jahr veröffentlichte er seinen eigenen Artikel „Theory of Rational Option Pricing“ im Bell Journal of Economics and Management Science, in dem er das mathematische Verständnis und die Anwendungen des Modells erweiterte und den Begriff „Black-Scholes-Theorie der Optionsbewertung“ prägte.

Nach der Veröffentlichung ihres Modells wurden Black und Scholes für ihre Arbeit mit dem Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften ausgezeichnet.

Seit seiner Veröffentlichung vor fast 50 Jahren ist das Black-Scholes-Modell zu einem wichtigen Bestandteil der Finanzwissenschaft und der Finanzindustrie geworden. Es wird häufig verwendet, um den fairen Preis von Optionen auf Aktien, Anleihen und andere Finanzinstrumente zu bestimmen, und hat dazu beigetragen, das Verständnis von Risiko und Preisbildung in der Finanzwelt zu verbessern.

In den Jahren seit seiner Veröffentlichung wurde das Modell auch weiterentwickelt und verfeinert, um noch genauere Ergebnisse zu liefern und den Anforderungen der sich ständig verändernden Finanzmärkte gerecht zu werden.

Das Black-Scholes-Modell wurde ursprünglich entwickelt, um die Preise von Optionskontrakten europäischer Art zu berechnen. Das Modell wurde später auf amerikanische Optionskontrakte erweitert.

Die Black-Scholes-Formel

Die Black-Scholes-Formel beinhaltet folgende Bestandteile:

• S: Der aktuelle Preis des Basiswerts, auf den sich die Option bezieht
• K: Der Basispreis der Option
• r: Der risikofreie Zinssatz
• t: Die Zeit bis zum Verfall der Option
• σ: Die Volatilität des Basiswerts
• d1 und d2: Zwei Faktoren, die auf den Preis der Option Einfluss nehmen

Die Black-Scholes-Formel lautet wie folgt:

Call Option:

C = S * N(d1) – K * e^(-r * t) * N(d2)

Put Option:

P = K * e^(-r * t) * N(-d2) – S * N(-d1)

Hierbei sind N(d1) und N(d2) die Werte der Standardnormalverteilung für die Zahlen d1 und d2. Die Werte für d1 und d2 werden wie folgt berechnet:

d1 = (ln(S / K) + (r + σ^2 / 2) * t) / (σ * √t)

d2 = d1 – σ * √t

Das Black-Scholes-Modell in der Praxis

Das Black-Scholes-Modell ist ein wichtiges Finanzmodell, das in der Praxis vielseitig eingesetzt wird. Eines der Hauptanwendungsgebiete ist die Bewertung von Optionen. 

Ein Beispiel ist die Berechnung des fairen Preises einer Call-Option. Eine Call-Option gibt dem Käufer das Recht, eine bestimmte Anzahl von Aktien zu einem festgelegten Preis innerhalb eines bestimmten Zeitraums zu kaufen. Mit Hilfe des Black-Scholes-Modells kann der Anleger den aktuellen Wert der Option berechnen, indem er verschiedene Faktoren wie den aktuellen Aktienkurs, die Dividendenrendite, die Volatilität des Aktienkurses und die Restlaufzeit der Option berücksichtigt.

Ein weiteres Beispiel für die Anwendung des Black-Scholes-Modells ist die Berechnung von Risiken in Portfolios, die Optionen enthalten. Da das Black-Scholes-Modell den Wert von Optionen genau berechnen kann, kann es auch dazu verwendet werden, das Risiko von Portfolios zu quantifizieren, die Optionen enthalten. Auf diese Weise können Anleger das Risiko ihrer Portfolios besser verstehen und entsprechende Maßnahmen ergreifen, um das Risiko zu reduzieren.

Kritik am Black-Scholes-Modell

Das Black-Scholes-Modell hat einige Schwächen, die dazu führen, dass es nicht in allen Situationen angewendet werden kann. Eine der größten Schwächen des Modells ist, dass es die Dividenden und andere Zahlungen, die von Unternehmen an ihre Aktionäre geleistet werden, nicht berücksichtigt. Dadurch kann es zu ungenauen Schätzungen der Aktienkurse und der Volatilität kommen. 

Eine weitere Schwäche des Modells ist, dass es ein konstantes Volatilitätsniveau voraussetzt, was in der Realität jedoch selten der Fall ist.

Auch die Annahme, dass die Märkte effizient sind und keine arbitragefreien Gewinne erzielt werden können, ist in der Realität oft nicht der Fall.

Diese Schwächen des Black-Scholes-Modells können dazu führen, dass es in bestimmten Situationen ungenaue Ergebnisse liefert und daher nicht in allen Situationen angewendet werden kann.

Volatility Skew

Das Black-Scholes-Modell geht davon aus, dass Aktienkurse einer Lognormalverteilung folgen, da Vermögenspreise nicht negativ sein können (sie sind durch Null begrenzt).

Häufig wird beobachtet, dass die Preise von Vermögenswerten einen sogenannten “Skew” aufweisen. Dies bedeutet, dass risikoreiche Abwärtsbewegungen auf dem Markt häufiger vorkommen, als eine Normalverteilung vorhersagt.

Die Annahme lognormaler Preise für die zugrunde liegenden Vermögenswerte sollte zeigen, dass die impliziten Volatilitäten nach dem Black-Scholes-Modell für jeden Ausübungspreis ähnlich sind. Seit dem Börsencrash von 1987 sind die impliziten Volatilitäten für Optionen am Geld jedoch niedriger als für Optionen, die weiter aus dem Geld oder weit im Geld sind. Der Grund für dieses Phänomen liegt darin, dass der Markt die Wahrscheinlichkeit einer Abwärtsbewegung der Märkte mit hoher Volatilität stärker einpreist.

Dies hat zum Auftreten des “Volatility Skew” – auf Deutsch etwa: Volatilitätsschiefe – geführt. Wenn die impliziten Volatilitäten für Optionen mit demselben Verfallsdatum in einem Diagramm dargestellt werden, kann man ein Lächeln oder eine schiefe Form erkennen. Daher ist das Black-Scholes-Modell für die Berechnung der impliziten Volatilität nicht effizient.

FAQ – Häufige Fragen zum Black-Scholes-Modell

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